与えられた関数を微分する問題と、関数の増減・極値・凹凸などを調べてグラフの概形をかく問題です。問題1と問題2は微分のみ答える問題です。問題3は増減凹凸表とグラフの概形を書く必要があります。

はい、承知しました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題と、関数の増減・極値・凹凸などを調べてグラフの概形をかく問題です。問題1と問題2は微分のみ答える問題です。問題3は増減凹凸表とグラフの概形を書く必要があります。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $y = x^{\sqrt{2}}$ の微分

$y' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}$

(2) $y = x \sin x$ の微分（積の微分法則を使う）

$y' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = \sin x + x \cos x$

(3) $y = \cos(x^2)$ の微分（合成関数の微分）

$y' = -\sin(x^2) \cdot (x^2)' = -2x \sin(x^2)$

(4) $y = \tan(2x+1)$ の微分（合成関数の微分）

$y' = \frac{1}{\cos^2(2x+1)} \cdot (2x+1)' = \frac{2}{\cos^2(2x+1)} = 2 \sec^2(2x+1)$

(5) $y = \sin^{-1} x$ の微分

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(6) $y = e^{-x} \log x$ の微分（積の微分法則を使う）

$y' = (e^{-x})' \log x + e^{-x} (\log x)' = -e^{-x} \log x + \frac{e^{-x}}{x} = e^{-x} (\frac{1}{x} - \log x)$

問題2

(1) $y = \frac{2x}{x^2 + 1}$ の微分 (商の微分法則を使う)

$y' = \frac{(2x)'(x^2+1) - 2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

(2) $y = \frac{1}{6} \sqrt{2x^2+1} = \frac{1}{6} (2x^2+1)^{1/2}$ の微分 (合成関数の微分)

$y' = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} (2x^2+1)^{-1/2} \cdot (4x) = \frac{4x}{12\sqrt{2x^2+1}} = \frac{x}{3\sqrt{2x^2+1}}$

(3) $y = \sqrt{\frac{2x+1}{x^2+1}}$ の微分

$y' = \frac{1}{2} (\frac{2x+1}{x^2+1})^{-1/2} \cdot \frac{2(x^2+1) - (2x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} (\frac{x^2+1}{2x+1})^{1/2} \cdot \frac{2x^2 + 2 - 4x^2 - 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} (\frac{x^2+1}{2x+1})^{1/2} \cdot \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2-x+1}{(x^2+1)^{3/2}(2x+1)^{1/2}}$

(4) $y = \frac{\sin x}{\sin^2 x + 1}$ の微分 (商の微分法則を使う)

$y' = \frac{(\sin x)' (\sin^2 x + 1) - \sin x (\sin^2 x + 1)'}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos x (\sin^2 x + 1) - \sin x (2 \sin x \cos x)}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos x \sin^2 x + \cos x - 2 \sin^2 x \cos x}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos x - \sin^2 x \cos x}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos x \cdot \cos^2 x}{(\sin^2 x + 1)^2} = \frac{\cos^3 x}{(\sin^2 x + 1)^2}$

(5) $y = \sin(\cos(3x))$ の微分 (合成関数の微分)

$y' = \cos(\cos(3x)) \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -3 \sin(3x) \cos(\cos(3x))$

(6) $y = \log(\tan(x^2))$ の微分 (合成関数の微分)

$y' = \frac{1}{\tan(x^2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x^2)} \cdot 2x = \frac{\cos(x^2)}{\sin(x^2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x^2)} \cdot 2x = \frac{2x}{\sin(x^2)\cos(x^2)} = \frac{4x}{\sin(2x^2)}$

問題3

(1) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x+1}$ の増減・極値・凹凸・変曲点・漸近線を調べてグラフを描く。

$y = \frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{x(x+1) + 1}{x+1} = x + \frac{1}{x+1}$

$y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

$y' = 0$ となるのは $x=0, -2$ のとき。

$x = -1$ で定義されない。

$y'' = \frac{2}{(x+1)^3}$

$y'' = 0$ となる $x$ は存在しない。$x=-1$ で定義されない。

漸近線: $x=-1$, $y=x$

増減表（省略）

グラフ（省略）

(2) $y = \frac{1}{1-e^{-x}}$ の増減・極値・凹凸・変曲点・漸近線を調べてグラフを描く。

$y' = \frac{-1}{(1-e^{-x})^2} \cdot e^{-x} = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} > 0$ （常に増加）

$y'' = \frac{-e^{-x}(1-e^{-x})^2 - e^{-x} \cdot 2(1-e^{-x})e^{-x}}{(1-e^{-x})^4} = \frac{-e^{-x}(1-e^{-x}) - 2(e^{-x})^2}{(1-e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x} + e^{-2x} - 2e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x} - e^{-2x}}{(1-e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x}(1 + e^{-x})}{(1-e^{-x})^3}$

$y''=0$ となるxは存在しない。

漸近線: $x \to -\infty$ のとき $y \to 0$. $x \to \infty$ のとき $y \to 1$. $x \to 0$ のとき $y \to \infty$

増減表（省略）

グラフ（省略）

3. 最終的な答え

問題1

(1) $y' = \sqrt{2} x^{\sqrt{2}-1}$

(2) $y' = \sin x + x \cos x$

(3) $y' = -2x \sin(x^2)$

(4) $y' = 2 \sec^2(2x+1)$

(5) $y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(6) $y' = e^{-x} (\frac{1}{x} - \log x)$

問題2

(1) $y' = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

(2) $y' = \frac{x}{3\sqrt{2x^2+1}}$

(3) $y' = \frac{-x^2-x+1}{(x^2+1)^{3/2}\sqrt{2x+1}}$

(4) $y' = \frac{\cos^3 x}{(\sin^2 x + 1)^2}$

(5) $y' = -3 \sin(3x) \cos(\cos(3x))$

(6) $y' = \frac{4x}{\sin(2x^2)}$

問題3

(1) 増減表とグラフ(省略)

(2) 増減表とグラフ(省略)