(1) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ の増減・極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べてグラフの概形をかけ。 (2) $y = \frac{1}{1 - e^{-x}}$ の増減・極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べてグラフの概形をかけ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、それぞれの問題について、増減・極値、凹凸、変曲点、漸近線を求め、グラフの概形を求めます。

1. 問題の内容

(1) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ の増減・極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べてグラフの概形をかけ。

(2) $y = \frac{1}{1 - e^{-x}}$ の増減・極値、凹凸、変曲点、漸近線を調べてグラフの概形をかけ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$

* 定義域：$x \neq -1$

* $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{(x+1)x + 1}{x + 1} = x + \frac{1}{x+1}$

* 導関数：

$y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

$y'' = \frac{2}{(x+1)^3}$

* 増減表：

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | + | 0 | - | 不存在 | - | 0 | + |

| y'' | - | - | - | 不存在 | + | + | + |

| y | ↗ 凹 | -3 | ↘ 凹 | 不存在 | ↘ 凸 | 1 | ↗ 凸 |

* 極値：$x = -2$ で極大値 $y = -3$、$x = 0$ で極小値 $y = 1$

* 漸近線：

* 垂直漸近線：$x = -1$

* 斜め漸近線：$y = x$ ($x \to \pm \infty$ で $y - x = \frac{1}{x+1} \to 0$)

* グラフの概形：

* 極大点 $(-2, -3)$、極小点 $(0, 1)$ を通る。

* $x = -1$ と $y = x$ が漸近線となる。

* $y''$ は常に正または負であり、変曲点はない。

(2) $y = \frac{1}{1 - e^{-x}}$

* 定義域：$1 - e^{-x} \neq 0 \Leftrightarrow e^{-x} \neq 1 \Leftrightarrow x \neq 0$

* 導関数：

$y' = \frac{-(-e^{-x})}{(1 - e^{-x})^2} = \frac{e^{-x}}{(1 - e^{-x})^2} > 0$

$y'' = \frac{-e^{-x}(1 - e^{-x})^2 - e^{-x} \cdot 2(1 - e^{-x})(e^{-x})}{(1 - e^{-x})^4} = \frac{-e^{-x}(1 - e^{-x}) - 2e^{-2x}}{(1 - e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x} + e^{-2x} - 2e^{-2x}}{(1 - e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x} - e^{-2x}}{(1 - e^{-x})^3} = \frac{-e^{-x}(1 + e^{-x})}{(1 - e^{-x})^3}$

* 増減表：

| x | -∞ | ... | 0 | ... | +∞ |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| y' | | + | 不存在 | + | |

| y'' | | - | 不存在 | + | |

| y | 0 | ↗ 凹 | 不存在 | ↗ 凸 | 1 |

* 変曲点：$y'' = 0$ となる $x$ は存在しない。

* 漸近線：

* $x \to -\infty$ のとき $y \to \frac{1}{1 - \infty} \to 0$。よって、$y = 0$

* $x \to +\infty$ のとき $y \to \frac{1}{1 - 0} \to 1$。よって、$y = 1$

* $x \to 0^{-}$ のとき、$e^{-x} \to 1^{+}$ より $1 - e^{-x} \to 0^{-}$。よって、$y \to -\infty$。

* $x \to 0^{+}$ のとき、$e^{-x} \to 1^{-}$ より $1 - e^{-x} \to 0^{+}$。よって、$y \to +\infty$。

よって、$x = 0$

* グラフの概形：

* $y = 0$、$y = 1$、$x = 0$ が漸近線となる。

* $y' > 0$ より単調増加関数。

3. 最終的な答え

増減表とグラフの概形（省略）。