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(1) $\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin\theta - \cos\theta$ の値を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$。 (2) $\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5}$ のとき、$\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$。 (3) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、方程式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を解け。

解析学三角関数三角関数の合成解の公式
2025/8/11

1. 問題の内容

(1) sin⁡θcos⁡θ=−25\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} のとき、sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta の値を求めよ。ただし、π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi。
(2) sin⁡θcos⁡θ=−25\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} のとき、sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta の値を求めよ。ただし、π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi。
(3) 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi のとき、方程式 sin⁡(2θ+π6)=22\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} を解け。

2. 解き方の手順

(1) (sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1−2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta
sin⁡θcos⁡θ=−25\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} を代入すると、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=1−2(−25)=1+45=95(\sin\theta - \cos\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{2}{5}) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}
sin⁡θ−cos⁡θ=±95=±35=±355\sin\theta - \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{9}{5}} = \pm\frac{3}{\sqrt{5}} = \pm\frac{3\sqrt{5}}{5}
π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi より、sin⁡θ>0\sin\theta > 0 かつ cos⁡θ<0\cos\theta < 0 なので、sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 である。
よって、sin⁡θ−cos⁡θ=355\sin\theta - \cos\theta = \frac{3\sqrt{5}}{5}。
(2) (sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θ(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
sin⁡θcos⁡θ=−25\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} を代入すると、
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2(−25)=1−45=15(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2(-\frac{2}{5}) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
sin⁡θ+cos⁡θ=±15=±15=±55\sin\theta + \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}
π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi より、sin⁡θ>0\sin\theta > 0 かつ cos⁡θ<0\cos\theta < 0。
sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta の絶対値の大小関係は不明だが、∣sin⁡θ∣>∣cos⁡θ∣|\sin\theta| > |\cos\theta| のとき正、∣sin⁡θ∣<∣cos⁡θ∣|\sin\theta| < |\cos\theta| のとき負となる。
ここでθ=3π4\theta = \frac{3\pi}{4}を考えると、sin⁡θ=22\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}、cos⁡θ=−22\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}なのでsin⁡θ+cos⁡θ=0\sin\theta + \cos\theta = 0となり、θ\thetaはπ2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \piを満たす。
sin⁡θcos⁡θ=−25<0\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} < 0であるので、sin⁡θ>0\sin\theta > 0かつcos⁡θ<0\cos\theta < 0となる。
sin⁡(θ)+cos⁡(θ)=±55\sin(\theta) + \cos(\theta) = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} である。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2+(sin⁡θ−cos⁡θ)2=2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)=2(\sin\theta + \cos\theta)^2 + (\sin\theta - \cos\theta)^2 = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 2.
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=95(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \frac{9}{5}.
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=2−95=10−95=15(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 2 - \frac{9}{5} = \frac{10 - 9}{5} = \frac{1}{5}.
sin⁡θ+cos⁡θ=±15=±55\sin\theta + \cos\theta = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}.
sin⁡θ>0,cos⁡θ<0\sin\theta > 0, \cos\theta < 0 より、sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta の符号は sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta の絶対値の大小関係によって決まる。
sin⁡(θ)+cos⁡(θ)=±55\sin(\theta) + \cos(\theta) = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} である。
(sin⁡θ+cos⁡θ)(sin⁡θ−cos⁡θ)=sin⁡2θ−cos⁡2θ(\sin\theta + \cos\theta)(\sin\theta - \cos\theta) = \sin^2\theta - \cos^2\theta
sin⁡θ−cos⁡θ=355\sin\theta - \cos\theta = \frac{3\sqrt{5}}{5}
sin⁡θ+cos⁡θ=±55\sin\theta + \cos\theta = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}
sin⁡θ=12(sin⁡θ+cos⁡θ+sin⁡θ−cos⁡θ)=12(±55+355)=55\sin\theta = \frac{1}{2} (\sin\theta + \cos\theta + \sin\theta - \cos\theta) = \frac{1}{2} (\pm \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{3\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{5} or 255\frac{2\sqrt{5}}{5}
cos⁡θ=12(sin⁡θ+cos⁡θ−(sin⁡θ−cos⁡θ))=12(±55−355)=−55\cos\theta = \frac{1}{2} (\sin\theta + \cos\theta - (\sin\theta - \cos\theta)) = \frac{1}{2} (\pm \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{3\sqrt{5}}{5}) = -\frac{\sqrt{5}}{5} or −255-\frac{2\sqrt{5}}{5}
sin⁡θ>0\sin\theta > 0 かつ cos⁡θ<0\cos\theta < 0 なので、sin⁡θ=255\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}、cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} または、sin⁡θ=55\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}、cos⁡θ=−255\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
sin⁡θcos⁡θ=−25\sin\theta\cos\theta = -\frac{2}{5} でなければならない。255×(−55)=−2×525=−25\frac{2\sqrt{5}}{5} \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2 \times 5}{25} = -\frac{2}{5}.
55×(−255)=−2×525=−25\frac{\sqrt{5}}{5} \times (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = -\frac{2 \times 5}{25} = -\frac{2}{5}.
π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi なので、 sin⁡θ>0\sin\theta > 0, cos⁡θ<0\cos\theta < 0。また、θ\theta の値域は π2<θ<π \frac{\pi}{2} < \theta < \pi であるため、sin⁡θ+cos⁡θ=55\sin\theta+\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}。
(3) sin⁡(2θ+π6)=22\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2} を解く。
0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi より、0≤2θ≤2π0 \le 2\theta \le 2\pi なので、π6≤2θ+π6≤2π+π6=13π6\frac{\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} \le 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}
sin⁡x=22\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} となる xx は x=π4,3π4,2π+π4,2π+3π4x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, 2\pi + \frac{\pi}{4}, 2\pi + \frac{3\pi}{4} など。
2θ+π6=π42\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} のとき、2θ=π4−π6=3π−2π12=π122\theta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12} なので、θ=π24\theta = \frac{\pi}{24}
2θ+π6=3π42\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} のとき、2θ=3π4−π6=9π−2π12=7π122\theta = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} なので、θ=7π24\theta = \frac{7\pi}{24}
2θ+π6=2π+π4=9π42\theta + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} のとき、2θ=9π4−π6=27π−2π12=25π122\theta = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{27\pi - 2\pi}{12} = \frac{25\pi}{12} なので、θ=25π24>π\theta = \frac{25\pi}{24} > \pi となり不適。
2θ+π6=2π+3π4=11π42\theta + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} のとき、2θ=11π4−π6=33π−2π12=31π122\theta = \frac{11\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{33\pi - 2\pi}{12} = \frac{31\pi}{12} なので、θ=31π24>π\theta = \frac{31\pi}{24} > \pi となり不適。
よって、θ=π24,7π24\theta = \frac{\pi}{24}, \frac{7\pi}{24}。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡θ−cos⁡θ=355\sin\theta - \cos\theta = \frac{3\sqrt{5}}{5}
(2) sin⁡θ+cos⁡θ=55\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}
(3) θ=124π,724π\theta = \frac{1}{24}\pi, \frac{7}{24}\pi

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