定数 $a$ は $0 \le a \le 2$ を満たし、$I = \int_0^2 t|t-a| dt$ とする。 (1) $a=1$ のとき、$I$ を求める。 (2) $0 \le a \le 2$ のとき、$I$ を $a$ を用いて表す。 (3) $0 \le a \le 2$ のとき、$I$ を最小にする $a$ の値と、$I$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ は $0 \le a \le 2$ を満たし、$I = \int_0^2 t|t-a| dt$ とする。

(1) $a=1$ のとき、$I$ を求める。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、$I$ を $a$ を用いて表す。

(3) $0 \le a \le 2$ のとき、$I$ を最小にする $a$ の値と、$I$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、積分範囲を $0 \le t < 1$ と $1 \le t \le 2$ に分けて絶対値を外して計算する。

(2) $0 \le a \le 2$ のとき、積分範囲を $0 \le t < a$ と $a \le t \le 2$ に分けて絶対値を外して計算する。

(3) (2)で求めた $I$ を $a$ の関数と見て、その最小値を求める。

(1) $a=1$ のとき

$I = \int_0^2 t|t-1| dt = \int_0^1 t(1-t) dt + \int_1^2 t(t-1) dt$

$I = \int_0^1 (t-t^2) dt + \int_1^2 (t^2-t) dt = [\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^1 + [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2]_1^2$

$I = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

(2) $0 \le a \le 2$ のとき

$I = \int_0^2 t|t-a| dt = \int_0^a t(a-t) dt + \int_a^2 t(t-a) dt$

$I = \int_0^a (at - t^2) dt + \int_a^2 (t^2 - at) dt = [\frac{1}{2}at^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^a + [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}at^2]_a^2$

$I = (\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3) + (\frac{8}{3} - 2a) - (\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3)$

$I = \frac{1}{6}a^3 + \frac{8}{3} - 2a - \frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 = (\frac{1}{6} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2})a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

$I = \frac{1-2+3}{6}a^3 - 2a + \frac{8}{3} = \frac{2}{6}a^3 - 2a + \frac{8}{3} = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

(3) $0 \le a \le 2$ のとき、$I(a) = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$ の最小値を求める。

$I'(a) = a^2 - 2$

$I'(a) = 0$ となるのは $a = \pm \sqrt{2}$。 $0 \le a \le 2$ より $a = \sqrt{2}$。

$I''(a) = 2a$

$I''(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} > 0$ より、$a=\sqrt{2}$ で極小値を取る。

$I(0) = \frac{8}{3}$

$I(2) = \frac{8}{3} - 4 + \frac{8}{3} = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3}$

$I(\sqrt{2}) = \frac{1}{3}(\sqrt{2})^3 - 2\sqrt{2} + \frac{8}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{8}{3} = \frac{2\sqrt{2}-6\sqrt{2}}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{8}{3} = \frac{8-4\sqrt{2}}{3}$

$I(\sqrt{2}) = \frac{8-4\sqrt{2}}{3} \approx \frac{8-4(1.414)}{3} \approx \frac{8-5.656}{3} \approx \frac{2.344}{3} \approx 0.781$

$I(2) = \frac{4}{3} \approx 1.333$

$I(0) = \frac{8}{3} \approx 2.666$

よって、最小値は $a = \sqrt{2}$ のとき $I = \frac{8-4\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $I = 1$

(2) $I = \frac{1}{3}a^3 - 2a + \frac{8}{3}$

(3) $a = \sqrt{2}$ のとき、$I = \frac{8-4\sqrt{2}}{3}$