与えられた積分 $\int a^{-\frac{x}{2}} dx$ を計算します。ただし、$a>0$ かつ $a \neq 1$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int a^{-\frac{x}{2}} dx$ を計算します。ただし、$a>0$ かつ $a \neq 1$ です。

2. 解き方の手順

まず、$a^{-\frac{x}{2}}$ を $e$ を底とする指数関数に変換します。

$a^{-\frac{x}{2}} = e^{\ln(a^{-\frac{x}{2}})} = e^{-\frac{x}{2} \ln(a)}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int a^{-\frac{x}{2}} dx = \int e^{-\frac{x}{2} \ln(a)} dx$

ここで、$u = -\frac{x}{2} \ln(a)$ と置換すると、$du = -\frac{1}{2} \ln(a) dx$ となります。したがって、$dx = -\frac{2}{\ln(a)} du$ です。

積分は次のようになります。

$\int e^u \left(-\frac{2}{\ln(a)}\right) du = -\frac{2}{\ln(a)} \int e^u du = -\frac{2}{\ln(a)} e^u + C$

$u$ を元に戻すと、

$-\frac{2}{\ln(a)} e^{-\frac{x}{2} \ln(a)} + C = -\frac{2}{\ln(a)} a^{-\frac{x}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\int a^{-\frac{x}{2}} dx = -\frac{2 a^{-\frac{x}{2}}}{\ln(a)} + C$