関数 $f(x) = 3^{2x} + 3^{-2x} - 6(3^x + 3^{-x}) + 12$ と $g(x) = 3^x + 3^{-x}$ が与えられています。 (1) $g(x)$ の最小値を求める問題です。 (2) $f(x)$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 3^{2x} + 3^{-2x} - 6(3^x + 3^{-x}) + 12$ と $g(x) = 3^x + 3^{-x}$ が与えられています。

(1) $g(x)$ の最小値を求める問題です。

(2) $f(x)$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $g(x) = 3^x + 3^{-x}$ の最小値を求めます。

相加相乗平均の不等式を利用します。$3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ であるため、

$$\frac{3^x + 3^{-x}}{2} \ge \sqrt{3^x \cdot 3^{-x}} = \sqrt{3^{x-x}} = \sqrt{3^0} = \sqrt{1} = 1$$

よって、

$$3^x + 3^{-x} \ge 2$$

等号成立条件は、$3^x = 3^{-x}$、すなわち $3^{2x} = 1$ となる時です。これは $x = 0$ の時に成立します。

したがって、$g(x)$ の最小値は 2 です。

(2) $f(x) = 3^{2x} + 3^{-2x} - 6(3^x + 3^{-x}) + 12$ の最小値を求めます。

$g(x) = 3^x + 3^{-x}$ とおくと、

$g(x)^2 = (3^x + 3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2\cdot 3^x \cdot 3^{-x} + 3^{-2x} = 3^{2x} + 2 + 3^{-2x}$

よって、$3^{2x} + 3^{-2x} = g(x)^2 - 2$

したがって、

$f(x) = g(x)^2 - 2 - 6g(x) + 12 = g(x)^2 - 6g(x) + 10$

ここで、$t = g(x)$ とおくと、$t \ge 2$ であり、

$f(x) = t^2 - 6t + 10 = (t - 3)^2 + 1$

$t \ge 2$ の範囲で考えると、$t = 3$ のとき、$f(x)$ は最小値 $1$ をとります。

このとき、$3^x + 3^{-x} = 3$ となります。これは $3^{2x} - 3 \cdot 3^x + 1 = 0$ を解くことで $x$ が求められます。

$3^x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ であり、実数解が存在します。

したがって、$f(x)$ の最小値は 1 です。

3. 最終的な答え

(1) $g(x)$ の最小値: 2

(2) $f(x)$ の最小値: 1