与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は以下の通りです。 $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列は以下の通りです。

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

2. 解き方の手順

この数列は、部分分数分解を利用して解くことができます。

一般項 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ をかけると

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

この式が任意の $k$ に対して成り立つように $A$ と $B$ を定めます。

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると

$1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B(2 \cdot \frac{1}{2} - 1) = 2A$

よって $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると

$1 = A(2 \cdot -\frac{1}{2} + 1) + B(2 \cdot -\frac{1}{2} - 1) = -2B$

よって $B = -\frac{1}{2}$

したがって

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

これはtelescoping sum（望遠鏡和）なので、多くの項が打ち消し合います。

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1}$

$S_n = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n}{2n+1}$