与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列の一般項は $a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ であり、その和は $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S_n$ を求める問題です。数列の一般項は $a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ であり、その和は $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ で表されます。

2. 解き方の手順

部分分数分解を利用して、数列の和を計算します。

まず、一般項を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると、

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$2k$ の係数を比較すると、$2A + 2B = 0$ より $A = -B$

定数項を比較すると、$A - B = 1$ より $2A = 1$, $A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

この和は、隣り合う項が打ち消しあう、いわゆる telescopic sum （伸縮和）になります。

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$

$S_n = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n}{2n+1}$