$\int x\sqrt{x^2-1}dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x\sqrt{x^2-1}dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。

$x^2-1 = t$ とおくと、両辺を $x$ で微分して、

$\frac{dt}{dx} = 2x$

よって、$x dx = \frac{1}{2}dt$ となります。

元の積分は、

$\int x\sqrt{x^2-1}dx = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt$

$\int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C$

（$C$は積分定数）

したがって、

$\frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}t^{\frac{3}{2}} + C$

$t = x^2-1$ を代入して、

$\frac{1}{3}(x^2-1)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}(x^2-1)^{\frac{3}{2}} + C$