問題は、与えられた不等式 $(1+h)^n > 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$ ($h > 0$) を用いて、以下の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式 $(1+h)^n > 1 + nh + \frac{n(n-1)}{2}h^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}h^3$ ($h > 0$) を用いて、以下の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n}$ について

$2 = 1 + 1$ より、与えられた不等式で $h=1$ とすると、

$(1+1)^n > 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$2^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ （十分大きい $n$ について）

$\frac{2^n}{n} > \frac{(n-1)(n-2)}{6}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)(n-2)}{6} = \infty$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}$ について

$2 = 1 + 1$ より、与えられた不等式で $h=1$ とすると、

$(1+1)^n > 1 + n + \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

$2^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ （十分大きい $n$ について）

$\frac{n^2}{2^n} < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)} = \frac{6n}{(n-1)(n-2)}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{(n-1)(n-2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{n^2 - 3n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{6/n}{1 - 3/n + 2/n^2} = \frac{0}{1} = 0$

ここで、$\frac{n^2}{2^n} > 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0$