与えられた式は微分方程式であり、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。式は以下のように表されます。 $\frac{dy}{dx} = -\frac{2 \cos x}{\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた式は微分方程式であり、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。式は以下のように表されます。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2 \cos x}{\sin x}$

2. 解き方の手順

微分方程式を解くためには、変数分離を行い積分します。

まず、$\frac{dy}{dx}$ を $dy$ と $dx$ に分離します。

$dy = -\frac{2 \cos x}{\sin x} dx$

次に、両辺を積分します。

$\int dy = \int -\frac{2 \cos x}{\sin x} dx$

左辺の積分は簡単です。

$\int dy = y + C_1$

右辺の積分は、置換積分法を使用します。$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int -\frac{2 \cos x}{\sin x} dx = \int -\frac{2}{u} du = -2 \int \frac{1}{u} du = -2 \ln |u| + C_2 = -2 \ln |\sin x| + C_2$

したがって、

$y + C_1 = -2 \ln |\sin x| + C_2$

$y = -2 \ln |\sin x| + C_2 - C_1$

ここで、$C = C_2 - C_1$ とおくと、$C$ は積分定数となります。

$y = -2 \ln |\sin x| + C$

3. 最終的な答え

$y = -2 \ln |\sin x| + C$