放物線 $C_1: y = x^2 - 4x + 5$ と $C_2: y = -x^2 + 2x + 5$ がある。$C_1$, $x$軸, $y$軸, 直線$x=3$で囲まれる部分の面積$S_1$と、$C_1$, $C_2$で囲まれる部分の面積$S_2$を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = x^2 - 4x + 5$ と $C_2: y = -x^2 + 2x + 5$ がある。$C_1$, $x$軸, $y$軸, 直線$x=3$で囲まれる部分の面積$S_1$と、$C_1$, $C_2$で囲まれる部分の面積$S_2$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S_1$ を求める。

$C_1: y = x^2 - 4x + 5$ と $x$ 軸 ($y=0$), $y$ 軸 ($x=0$), $x=3$ で囲まれる面積 $S_1$ は、積分を用いて求める。

$S_1 = \int_0^3 (x^2 - 4x + 5) dx$

$= \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^3$

$= \frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 5(3) - 0$

$= 9 - 18 + 15$

$= 6$

(2) 面積 $S_2$ を求める。

$C_1: y = x^2 - 4x + 5$ と $C_2: y = -x^2 + 2x + 5$ の交点を求める。

$x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 2x + 5$

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

よって、交点の $x$ 座標は $0$ と $3$。

$C_1$ と $C_2$ で囲まれる面積 $S_2$ は、積分を用いて求める。$0 \le x \le 3$ の範囲において、$C_2$ が $C_1$ よりも上にある。

$S_2 = \int_0^3 ((-x^2 + 2x + 5) - (x^2 - 4x + 5)) dx$

$= \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx$

$= \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_0^3$

$= -\frac{2}{3}(3^3) + 3(3^2) - 0$

$= -\frac{2}{3}(27) + 3(9)$

$= -18 + 27$

$= 9$

3. 最終的な答え

$S_1 = 6$

$S_2 = 9$