$0 \le \theta \le \pi$ のとき、次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。 (1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ (2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ のとき、次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求めよ。

(1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

(2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$

三角関数の合成を行う。

$y = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}\sin(\theta + \alpha)$

$y = 2\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$cos\alpha = \frac{1}{2}$、$sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$より、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$

$y = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta \le \pi$より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3}$

よって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$のとき、$\theta = \frac{5\pi}{6}$で最大値$2$

$\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$のとき、$\theta = 0$で最小値$-1$

(2) $y = \sin(\theta - \frac{\pi}{3}) + \sin\theta$

三角関数の和積の公式を用いる。

$y = 2\sin(\frac{\theta - \frac{\pi}{3} + \theta}{2})\cos(\frac{\theta - \frac{\pi}{3} - \theta}{2})$

$y = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})\cos(-\frac{\pi}{6})$

$y = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})\frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

$0 \le \theta \le \pi$より、$-\frac{\pi}{6} \le \theta - \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{6}$

よって、

$\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$のとき、$\theta = \frac{2\pi}{3}$で最大値$\sqrt{3}$

$\theta - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$のとき、$\theta = 0$で最小値$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $2$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)、最小値: $-1$ ($\theta = 0$)

(2) 最大値: $\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{2\pi}{3}$)、最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = 0$)