与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = -2y \frac{\sin x}{\cos x}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = -2y \frac{\sin x}{\cos x}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

これは変数分離形の微分方程式なので、以下のように解きます。

まず、$y$ と $x$ を分離します。

$\frac{dy}{y} = -2 \frac{\sin x}{\cos x} dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int -2 \frac{\sin x}{\cos x} dx$

左辺は $\ln|y|$ になります。

$\ln|y| = \int -2 \frac{\sin x}{\cos x} dx$

右辺を計算します。ここで、$u = \cos x$ とすると、$du = -\sin x \, dx$ なので、

$\int -2 \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int 2 \frac{1}{u} du = 2 \ln|u| + C = 2 \ln|\cos x| + C = \ln(\cos^2 x) + C$

したがって、

$\ln|y| = \ln(\cos^2 x) + C$

両辺の指数を取ります。

$|y| = e^{\ln(\cos^2 x) + C} = e^{\ln(\cos^2 x)} e^C = \cos^2 x \cdot e^C$

$e^C$ は任意の正の定数なので、$A = \pm e^C$ とおくと、$A$ は任意の定数となります。

$y = A \cos^2 x$

3. 最終的な答え

$y = A \cos^2 x$

ここで、$A$ は任意の定数です。