放物線 $C: y = -x^2 + 2x$ と直線 $l: y = x - 2$ で囲まれる部分の面積 $S_1$ と、放物線 $C$ と $x$ 軸、直線 $x = 1$, $x = 3$ で囲まれる部分の面積 $S_2$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 2x$ と直線 $l: y = x - 2$ で囲まれる部分の面積 $S_1$ と、放物線 $C$ と $x$ 軸、直線 $x = 1$, $x = 3$ で囲まれる部分の面積 $S_2$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ を求めます。

* 放物線と直線の交点の $x$ 座標を求める。

$-x^2 + 2x = x - 2$ を解くと、

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = -1, 2$

* $S_1$ は、積分を用いて計算する。

$S_1 = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x - (x - 2)) dx$

$S_1 = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2}$

$S_1 = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$S_1 = -\frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$

$S_1 = -3 + 8 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

次に、$S_2$ を求めます。

* $S_2 = \int_{1}^{3} (-x^2 + 2x) dx$

$S_2 = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{1}^{3}$

$S_2 = (-\frac{27}{3} + 9) - (-\frac{1}{3} + 1)$

$S_2 = (-9 + 9) - (-\frac{1}{3} + 1) = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$

面積なので、絶対値を取ります。

$S_2 = |\int_{1}^{3} (-x^2 + 2x) dx|$

$S_2 = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$S_1 = \frac{9}{2}$

$S_2 = \frac{4}{3}$

$S_1 = \frac{9}{2}$

$S_2 = \frac{4}{3}$

$S_1 = \frac{9}{2}$ なので、ア=9、イ=2

$S_2 = \frac{4}{3}$なので、ウ=4/3