定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}}dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}}dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log x$ と置換する。

すると、$dt = \frac{1}{x} dx$ となる。

積分範囲は、$x: 1 \to e$ から $t: \log 1 \to \log e$, すなわち $t: 0 \to 1$ となる。

したがって、与えられた積分は以下のように書き換えられる。

$\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} dt$

次に、$u = 1+t^2$ と置換する。

すると、$du = 2t dt$ より $t dt = \frac{1}{2} du$ となる。

積分範囲は、$t: 0 \to 1$ から $u: 1+0^2 \to 1+1^2$, すなわち $u: 1 \to 2$ となる。

したがって、積分は以下のように書き換えられる。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{u}$ の積分は $\log |u|$ であるから、

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_{1}^{2} = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} (\log 2 - 0) = \frac{1}{2} \log 2$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \log 2$