関数 $y = \sin 2x + \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\sin x + \cos x = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表しなさい。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求めなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin 2x + \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4})$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\sin x + \cos x = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表しなさい。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $t$ で表す

$\sin x + \cos x = t$ なので、両辺を2乗すると、

$(\sin x + \cos x)^2 = t^2$

$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = t^2$

$1 + 2\sin x \cos x = t^2$

$2\sin x \cos x = t^2 - 1$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ なので、

$\sin 2x = t^2 - 1$

また、$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin x + \cos x) = \frac{t}{\sqrt{2}}$

したがって、$y = \sin 2x + \sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = t^2 - 1 + \sqrt{2} \cdot \frac{t}{\sqrt{2}} = t^2 + t - 1$

(2) $y$ の最大値と最小値を求める

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ なので、

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

$y = t^2 + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$t = -\frac{1}{2}$ は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲内にあるので、最小値は $t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = -\frac{5}{4}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y = (-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} - 1 = 2 - \sqrt{2} - 1 = 1 - \sqrt{2}$

$1 + \sqrt{2} > 1 - \sqrt{2}$ なので、最大値は $t = \sqrt{2}$ のとき、$y = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) 最大値: $1 + \sqrt{2}$, 最小値: $-\frac{5}{4}$