5つの三角関数の問題があります。 (1) $\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \beta = \frac{6}{13}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ を求める。 (2) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\theta$ を求める。 (3) 与えられたグラフが $y = \sin \theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。 (4) $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sin \theta + \cos \theta$ の最大値と最小値を求める。 (5) 方程式 $\cos 2\theta + 3\cos \theta - 1 = 0$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) の解 $\theta$ を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

5つの三角関数の問題があります。

(1) $\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \beta = \frac{6}{13}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ を求める。

(2) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\theta$ を求める。

(3) 与えられたグラフが $y = \sin \theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。

(4) $0 \leq \theta \leq \pi$ のとき、関数 $y = \sin \theta + \cos \theta$ の最大値と最小値を求める。

(5) 方程式 $\cos 2\theta + 3\cos \theta - 1 = 0$ ($0 \leq \theta < 2\pi$) の解 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ を使う。

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ より、$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ ($\alpha$は鋭角なので正)。

$\cos \beta = \frac{6}{13}$ より、$\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{6}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{169}} = \sqrt{\frac{133}{169}} = \frac{\sqrt{133}}{13}$ ($\beta$は鋭角なので正)。

よって、$\cos(\alpha - \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{133}}{13} = \frac{24}{65} + \frac{3\sqrt{133}}{65} = \frac{24 + 3\sqrt{133}}{65}$。

(2) $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗すると、$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{3})^2$。

$\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}$。

$1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}$。

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = -\frac{8}{9}$。

(3) グラフは $y = \sin \theta$ を $\theta$ 軸方向に $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの。

(4) $y = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$。

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} \leq \frac{5\pi}{4}$。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は 1 ($\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{4}$)。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$ の最小値は $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ のとき、$\theta = \pi$)。

よって、最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$、最小値は $\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$。

(5) $\cos 2\theta + 3\cos \theta - 1 = 0$。

$2\cos^2 \theta - 1 + 3\cos \theta - 1 = 0$。

$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$。

$(2\cos \theta - 1)(\cos \theta + 2) = 0$。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ または $\cos \theta = -2$。

$\cos \theta = -2$ はありえない。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ ($0 \leq \theta < 2\pi$)。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{24 + 3\sqrt{133}}{65}$

(2) $-\frac{8}{9}$

(3) $\frac{\pi}{3}$

(4) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: $-1$

(5) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$