$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を変形する。

$y = 2\sin^2 x - \sin x \cos x + 3\cos^2 x$

三角関数の倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ と $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$、および $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いる。

$y = 2\sin^2 x + 3\cos^2 x - \sin x \cos x$

$y = 2\sin^2 x + 3\cos^2 x - \frac{1}{2} (2\sin x \cos x)$

$y = 2\sin^2 x + 3\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x$

$y = 2\sin^2 x + 3\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x$

$= 2\sin^2 x + 3\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x$

$= 2\sin^2 x + 3(1-\sin^2 x) - \frac{1}{2}\sin 2x$

$= 2\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x$

$= -\sin^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x + 3$

$= -\frac{1-\cos 2x}{2} - \frac{1}{2} \sin 2x + 3$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + 3$

$= \frac{5}{2} + \frac{1}{2}(\cos 2x - \sin 2x)$

$= \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x \right)$

$= \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\pi}{4}\cos 2x - \sin \frac{\pi}{4}\sin 2x \right)$

$= \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$

ここで、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$ となる。

したがって、$- \frac{1}{\sqrt{2}} \le \cos(2x+\frac{\pi}{4}) \le 1$

$\cos (2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ のとき、 $2x + \frac{\pi}{4} = 0, 2\pi, \dots$

$2x + \frac{\pi}{4} = 0$ となる $x$ は $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ を満たさない。

$2x + \frac{\pi}{4} = 2\pi$ となる $x$ も $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ を満たさない。

$\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = 1$ となるのは、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ のときで、$x=0$

最大値：$y = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{5+\sqrt{2}}{2}$

$\cos (2x + \frac{\pi}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow 2x = \frac{2\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$

$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \Rightarrow 2x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$

最小値：$y = \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$

最小値：$2$