区間 $0 \le x \le \pi$ において、曲線 $y = \cos x$ と直線 $y = \frac{1}{2}$、および2直線 $x = 0$, $x = \pi$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

区間 $0 \le x \le \pi$ において、曲線 $y = \cos x$ と直線 $y = \frac{1}{2}$、および2直線 $x = 0$, $x = \pi$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \cos x$ と $y = \frac{1}{2}$ の交点を求めます。

$\cos x = \frac{1}{2}$ を満たす $x$ は、区間 $0 \le x \le \pi$ において $x = \frac{\pi}{3}$ です。

次に、面積を2つの部分に分けて計算します。

(1) $0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ の範囲では、$\cos x \ge \frac{1}{2}$ なので、面積は次の積分で求められます。

$S_1 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos x - \frac{1}{2}) dx$

(2) $\frac{\pi}{3} \le x \le \pi$ の範囲では、$\frac{1}{2} \ge \cos x$ なので、面積は次の積分で求められます。

$S_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\frac{1}{2} - \cos x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$S_1 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos x - \frac{1}{2}) dx = [\sin x - \frac{1}{2}x]_0^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - (\sin 0 - \frac{1}{2} \cdot 0) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

$S_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} (\frac{1}{2} - \cos x) dx = [\frac{1}{2}x - \sin x]_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = (\frac{1}{2}\pi - \sin \pi) - (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - \sin \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2} - 0 - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

求める面積 $S$ は、$S_1$ と $S_2$ の和です。

$S = S_1 + S_2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}) + (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$