曲線 $C: y = x^3 + 3x^2$ に対して、点 $A(0, a)$ から3本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 3x^2$ に対して、点 $A(0, a)$ から3本の接線が引けるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 + 3t^2)$ における接線を求める。

* 求めた接線が点 $A(0, a)$ を通る条件から、$t$ についての方程式を立てる。

* この $t$ についての方程式が相異なる3つの実数解を持つような $a$ の範囲を求める。

まず、曲線 $C: y = x^3 + 3x^2$ を微分します。

$y' = 3x^2 + 6x$

曲線 $C$ 上の点 $(t, t^3 + 3t^2)$ における接線の方程式は、

$y - (t^3 + 3t^2) = (3t^2 + 6t)(x - t)$

この接線が点 $A(0, a)$ を通るので、

$a - (t^3 + 3t^2) = (3t^2 + 6t)(0 - t)$

$a - t^3 - 3t^2 = -3t^3 - 6t^2$

$2t^3 + 3t^2 - a = 0$

この $t$ に関する3次方程式が相異なる3つの実数解を持つような $a$ の範囲を求めます。

$f(t) = 2t^3 + 3t^2 - a$ とおくと、$f'(t) = 6t^2 + 6t = 6t(t+1)$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, -1$

$f(t)$ の増減表は以下のようになります。

$t$ | ... | -1 | ... | 0 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(t)$ | + | 0 | - | 0 | +

$f(t)$ | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑

極大値 $f(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - a = -2 + 3 - a = 1 - a$

極小値 $f(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - a = -a$

$f(t) = 0$ が相異なる3つの実数解を持つためには、(極大値) $\times$ (極小値) $< 0$ である必要があります。

つまり、$(1 - a)(-a) < 0$

$a(a - 1) < 0$

$0 < a < 1$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$