媒介変数表示された曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 3\sin t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $C: \begin{cases} x = 3\cos t \\ y = 3\sin t \end{cases} (0 \le t \le 2\pi)$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、媒介変数表示された曲線に対して、次の公式で計算できます。

$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

ここで、$a$ と $b$ は媒介変数 $t$ の範囲を表します。

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t + \cos^2 t) = 9$

したがって、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{9} = 3$

最後に、積分を計算します。$t$ の範囲は $0$ から $2\pi$ です。

$L = \int_0^{2\pi} 3 dt = 3 \int_0^{2\pi} dt = 3 [t]_0^{2\pi} = 3(2\pi - 0) = 6\pi$

3. 最終的な答え

$L = 6\pi$

よって、画像の空欄に当てはまる数字は6です。