(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x-3t)\cos t \, dt$ を微分せよ。 (2) 等式 $\int_{a}^{x} tf(t) \, dt = -\frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x>0$ とする。

1. 問題の内容

(1) 関数 $F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x-3t)\cos t \, dt$ を微分せよ。

(2) 等式 $\int_{a}^{x} tf(t) \, dt = -\frac{1}{x} + 1$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x>0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、$F(x)$ を計算しやすくするために積分を分解する。

$F(x) = \int_{\frac{\pi}{3}}^{x} (x\cos t - 3t\cos t) \, dt = x\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt - 3\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t\cos t \, dt$

ここで、$\int \cos t \, dt = \sin t + C$、$\int t\cos t \, dt = t\sin t - \int \sin t \, dt = t\sin t + \cos t + C$ である。

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} \cos t \, dt = \sin x - \sin \frac{\pi}{3} = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{x} t\cos t \, dt = [t\sin t + \cos t]_{\frac{\pi}{3}}^{x} = x\sin x + \cos x - (\frac{\pi}{3}\sin \frac{\pi}{3} + \cos \frac{\pi}{3}) = x\sin x + \cos x - (\frac{\pi}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = x\sin x + \cos x - \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}$

よって、

$F(x) = x(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}) - 3(x\sin x + \cos x - \frac{\pi\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}) = x\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x - 3x\sin x - 3\cos x + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = -2x\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x - 3\cos x + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}$

次に、$F'(x)$ を計算する。

$F'(x) = -2\sin x - 2x\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3(-\sin x) = \sin x - 2x\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$F'(x) = \sin x - 2x\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 与えられた等式 $\int_{a}^{x} tf(t) \, dt = -\frac{1}{x} + 1$ の両辺を $x$ で微分すると、

$xf(x) = \frac{1}{x^2}$

よって、$f(x) = \frac{1}{x^3}$

与えられた等式に代入すると、

$\int_{a}^{x} t\cdot \frac{1}{t^3} \, dt = \int_{a}^{x} \frac{1}{t^2} \, dt = [-\frac{1}{t}]_{a}^{x} = -\frac{1}{x} - (-\frac{1}{a}) = -\frac{1}{x} + \frac{1}{a}$

これが $-\frac{1}{x} + 1$ と等しいので、

$-\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{x} + 1$

$\frac{1}{a} = 1$

$a=1$

3. 最終的な答え

(1) $F'(x) = \sin x - 2x\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $a = 1$