(1) 楕円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 (2) 曲線 $C: \begin{cases} x = -\cos t \\ y = 3\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 楕円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

(2) 曲線 $C: \begin{cases} x = -\cos t \\ y = 3\sin t \end{cases} (0 \le t \le \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の面積は $\pi a b$ で与えられる。

与えられた楕円は $\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$ であるから、$a=2, b=1$ である。

したがって、面積 $S = \pi \times 2 \times 1 = 2\pi$ となる。

(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{x_1}^{x_2} y \, dx$ で与えられる。

ここで、$x = -\cos t$ より、$dx = \sin t \, dt$ である。

$t$ の範囲は $0 \le t \le \pi$ であり、このとき $x$ は $-(-1) = 1$ から $-(-1) = 1$ へと変化する。

$t=0$ のとき $x = -1$, $t=\pi$ のとき $x=1$である。

したがって、$x$ が $-1$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $\pi$ から $0$ へと変化するので、

$$S = \int_{\pi}^{0} (3\sin t) (\sin t) \, dt = -3\int_{0}^{\pi} \sin^2 t \, dt$$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$ であるから、

$$S = -3\int_{\pi}^{0} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = 3 \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt$$

$$S = \frac{3}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt = \frac{3}{2} \left[ t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_0^{\pi} = \frac{3}{2} \left[ (\pi - \frac{1}{2}\sin 2\pi) - (0 - \frac{1}{2}\sin 0) \right]$$

$$S = \frac{3}{2} (\pi - 0 - 0 + 0) = \frac{3}{2}\pi$$

3. 最終的な答え

(1) $2$

(2) $\frac{3}{2}$