関数 $y = -\sin x + \cos x$ の $0 \le x < 2\pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sin x + \cos x$ の $0 \le x < 2\pi$ における最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = -\sin x + \cos x$ を合成します。

$y = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \sin(x + \alpha)$

$y = \sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

したがって、

$y = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}$

$\sin(x - \frac{\pi}{4})$ は $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ で最大値1をとり、$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ で最小値-1をとります。

最大値をとる $x$ の値:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

最小値をとる $x$ の値:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$

$x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$

最大値は $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$

最小値は $\sqrt{2} \times (-1) = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$ ($x = \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値: $-\sqrt{2}$ ($x = \frac{7\pi}{4}$ のとき)