与えられた数列の和を計算する問題です。 具体的には、以下の和を求めます。 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

具体的には、以下の和を求めます。

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k+1} + \frac{B}{k+2}$

両辺に $(k+1)(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+2) + B(k+1)$

$k = -1$ を代入すると、$1 = A(-1+2) + B(-1+1) = A$

したがって、$A = 1$

$k = -2$ を代入すると、$1 = A(-2+2) + B(-2+1) = -B$

したがって、$B = -1$

よって、

$\frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$

したがって、求める和は次のようになります。

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \sum_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right)$

これは、階差数列の和なので、以下のように計算できます。

$\sum_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

$= \frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

$= \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$