関数 $y = \cos 2\theta - 2\cos \theta$ について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

## 問題2(1)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2\theta - 2\cos \theta$ について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\cos \theta$ の式に変換する。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いると、

$y = 2\cos^2 \theta - 1 - 2\cos \theta$

次に、$\cos \theta = x$ とおくと、 $-1 \le x \le 1$ であり、

$y = 2x^2 - 2x - 1$

この関数を平方完成すると、

$y = 2(x^2 - x) - 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

したがって、$y$ は、$x = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $-\frac{3}{2}$ をとり、$x = -1$ のとき最大値 $2(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$ をとる。

$x = \cos \theta$ より、

* $x = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

* $x = -1$ のとき、$\cos \theta = -1$ なので、$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

* 最大値：$3$ ($\theta = \pi$ のとき)

* 最小値：$-\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

## 問題2(2)の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin \theta - 1$ について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ の式に変換する。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、

$y = 1 - 2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta - 1 = -2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta$

次に、$\sin \theta = x$ とおくと、 $-1 \le x \le 1$ であり、

$y = -2x^2 + 2\sqrt{3}x$

この関数を平方完成すると、

$y = -2(x^2 - \sqrt{3}x) = -2(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2 \cdot \frac{3}{4} = -2(x - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{3}{2}$

したがって、$y$ は、$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとり、$x = -1$ のとき最小値 $-2(-1)^2 + 2\sqrt{3}(-1) = -2 - 2\sqrt{3}$ をとる。

$x = \sin \theta$ より、

* $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

* $x = -1$ のとき、$\sin \theta = -1$ なので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

* 最大値：$\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ のとき)

* 最小値：$-2 - 2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)