定積分 $\int_{-3}^{3} (4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx$ の値を求めます。この際、nが正の整数または0のとき、$\int_{-a}^{a} x^{2n+1} dx = 0$ および $\int_{-a}^{a} x^{2n} dx = 2\int_{0}^{a} x^{2n} dx$ となることを利用します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{3} (4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx$ の値を求めます。この際、nが正の整数または0のとき、$\int_{-a}^{a} x^{2n+1} dx = 0$ および $\int_{-a}^{a} x^{2n} dx = 2\int_{0}^{a} x^{2n} dx$ となることを利用します。

2. 解き方の手順

まず、積分を各項に分解します。

$\int_{-3}^{3} (4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx = \int_{-3}^{3} 4x^3 dx + \int_{-3}^{3} 6x^2 dx - \int_{-3}^{3} 4x dx + \int_{-3}^{3} 1 dx$

次に、積分区間が $-a$ から $a$ であることを利用して、奇関数と偶関数に分けて計算します。

$x^3$ と $x$ は奇関数なので、$\int_{-3}^{3} 4x^3 dx = 0$ および $\int_{-3}^{3} 4x dx = 0$ となります。

$x^2$ と $1$ は偶関数なので、$\int_{-3}^{3} 6x^2 dx = 2\int_{0}^{3} 6x^2 dx$ および $\int_{-3}^{3} 1 dx = 2\int_{0}^{3} 1 dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-3}^{3} (4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) dx = 0 + 2\int_{0}^{3} 6x^2 dx - 0 + 2\int_{0}^{3} 1 dx$

$= 2 \cdot 6 \int_{0}^{3} x^2 dx + 2 \int_{0}^{3} 1 dx$

$= 12 [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{3} + 2[x]_{0}^{3}$

$= 12 (\frac{1}{3} \cdot 3^3 - 0) + 2(3-0)$

$= 12 (\frac{27}{3}) + 2(3)$

$= 12 \cdot 9 + 6$

$= 108 + 6$

$= 114$

3. 最終的な答え

114