問題は2つあります。 1. 放物線 $y = x^2 - x$ 上の点 $(0, 0)$ と $(2, 2)$ における接線で囲まれた図形の面積を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1. 放物線 $y = x^2 - x$ 上の点 $(0, 0)$ と $(2, 2)$ における接線で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ 上の点 $(4, 3)$ と $(0, 3)$ における接線で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $y = x^2 - x$ について

ステップ1: 接線を求める

* 点 $(0, 0)$ における接線：$y' = 2x - 1$ より、点 $(0, 0)$ での傾きは $y'(0) = -1$ なので、接線の方程式は $y = -x$。

* 点 $(2, 2)$ における接線：$y' = 2x - 1$ より、点 $(2, 2)$ での傾きは $y'(2) = 3$ なので、接線の方程式は $y - 2 = 3(x - 2)$ つまり $y = 3x - 4$。

ステップ2: 交点を求める

2つの接線の交点を求めます。

$-x = 3x - 4$

$4x = 4$

$x = 1$

$y = -1$

交点は $(1, -1)$

ステップ3: 面積を求める

求める面積は、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積です。これは積分を使って計算できます。

$S = \int_{0}^{2} |x^2 - x - (-x)| dx - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |2 - (-2)| - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |0 - (-2)|$

$S = \int_{0}^{2} (x^2) dx - \int_{0}^{2} |x^2 - x - (3x - 4)| dx$

別の方法として、2つの接線の交点のx座標が1であることから、積分範囲を分割し、2つの積分を計算し、面積の差を求めます。

$S = \int_{0}^{1} ((x^2 - x) - (-x)) dx + \int_{1}^{2} ((x^2 - x) - (3x - 4)) dx$

$S = \int_{0}^{1} x^2 dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} + [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{1}^{2}$

$S = (\frac{1}{3} - 0) + (\frac{8}{3} - 8 + 8) - (\frac{1}{3} - 2 + 4)$

$S = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} + 2 - 4$

$S = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$

(2) 放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ について

ステップ1: 接線を求める

* 点 $(4, 3)$ における接線：$y' = 2x - 4$ より、点 $(4, 3)$ での傾きは $y'(4) = 4$ なので、接線の方程式は $y - 3 = 4(x - 4)$ つまり $y = 4x - 13$。

* 点 $(0, 3)$ における接線：$y' = 2x - 4$ より、点 $(0, 3)$ での傾きは $y'(0) = -4$ なので、接線の方程式は $y - 3 = -4(x - 0)$ つまり $y = -4x + 3$。

ステップ2: 交点を求める

2つの接線の交点を求めます。

$4x - 13 = -4x + 3$

$8x = 16$

$x = 2$

$y = -4(2) + 3 = -5$

交点は $(2, -5)$

ステップ3: 面積を求める

求める面積は、放物線と2つの接線で囲まれた部分の面積です。

$S = \int_{0}^{4} ((x^2 - 4x + 3) - (4x - 13)) dx$

$S = \int_{0}^{4} |(x^2 - 4x + 3) - (4x - 13)| dx$

$S = \int_{0}^{4} |(x^2 - 4x + 3) - (-4x + 3)| dx$

$S = \int_{0}^{2} ((x^2 - 4x + 3) - (-4x + 3)) dx + \int_{2}^{4} ((x^2 - 4x + 3) - (4x - 13)) dx$

$S = \int_{0}^{2} x^2 dx + \int_{2}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{2} + [\frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 16x]_{2}^{4}$

$S = (\frac{8}{3} - 0) + (\frac{64}{3} - 64 + 64) - (\frac{8}{3} - 16 + 32)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{64}{3} - \frac{8}{3} - 16$

$S = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 放物線 $y = x^2 - x$ と接線で囲まれた図形の面積: $\frac{2}{3}$

(2) 放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ と接線で囲まれた図形の面積: $\frac{16}{3}$