次の不定積分を求めます。 (1) $\int (x+4)^3 dx$ (2) $\int (2x-5)^4 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int (x+4)^3 dx$

(2) $\int (2x-5)^4 dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = x+4$ と置換すると、$dt = dx$ となります。

よって、

$\int (x+4)^3 dx = \int t^3 dt = \frac{1}{4}t^4 + C = \frac{1}{4}(x+4)^4 + C$

(2)

$u = 2x-5$ と置換すると、$du = 2dx$ より、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

よって、

$\int (2x-5)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^4 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}u^5 + C = \frac{1}{10}(2x-5)^5 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}(x+4)^4 + C$

(2) $\frac{1}{10}(2x-5)^5 + C$