$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta - 2\cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

## 問題2 (1) の解答

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta - 2\cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\cos \theta$ だけの式で表します。

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を用いると、

$$$$

y = 2\cos^2 \theta - 1 - 2\cos \theta

$$$$

ここで、$t = \cos \theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$$$$

y = 2t^2 - 2t - 1

$$$$

となります。

次に、$y$ を平方完成します。

$$$$

y = 2(t^2 - t) - 1 = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 1

$$$$

$$$$

y = 2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{3}{2}

$$$$

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$y$ の最大値と最小値を考えます。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最小値 $-\frac{3}{2}$ をとります。

$t = -1$ のとき、$y$ は最大値 $2(-1 - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2} = 2\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ をとります。

$t = \cos \theta$ でしたので、

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$t = -1$ のとき、$\cos \theta = -1$ より、$\theta = \pi$

3. 最終的な答え

最大値: $3$ ($\theta = \pi$ のとき)

最小値: $-\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

## 問題2 (2) の解答

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \cos 2\theta + 2\sqrt{3}\sin \theta - 1$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\sin \theta$ だけの式で表します。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、

$$$$

y = 1 - 2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta - 1

$$$$

$$$$

y = -2\sin^2 \theta + 2\sqrt{3}\sin \theta

$$$$

ここで、$t = \sin \theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ であり、

$$$$

y = -2t^2 + 2\sqrt{3}t

$$$$

となります。

次に、$y$ を平方完成します。

$$$$

y = -2\left(t^2 - \sqrt{3}t\right) = -2\left(t - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{4}\right)

$$$$

$$$$

y = -2\left(t - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}

$$$$

$-1 \le t \le 1$ の範囲で、$y$ の最大値と最小値を考えます。

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。

$t = -1$ のとき、$y$ は最小値 $-2(-1 - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \frac{3}{2} = -2\left(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4}\right) + \frac{3}{2} = -2 - 2\sqrt{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = -2 - 2\sqrt{3}$ をとります。

$t = \sin \theta$ でしたので、

$t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$t = -1$ のとき、$\sin \theta = -1$ より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{3}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ のとき)

最小値: $-2 - 2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)