区間 $0 \le x \le 1$ において、関数 $f(x) = -x^3 + 3ax$ (aは定数) の最大値と最小値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

区間 $0 \le x \le 1$ において、関数 $f(x) = -x^3 + 3ax$ (aは定数) の最大値と最小値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 3a = -3(x^2 - a)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3(x^2 - a) = 0$

$x^2 = a$

$x = \pm \sqrt{a}$

区間 $0 \le x \le 1$ で考えるので、$x = \sqrt{a}$ が区間内にあるかどうかが重要になります。

以下、a の値で場合分けして考えます。

(i) $a \le 0$ のとき

$f'(x) = -3(x^2 - a) \le 0$ となるため、$f(x)$ は単調減少関数です。したがって、$x=0$ で最大値 $f(0) = 0$ をとり、$x=1$ で最小値 $f(1) = -1 + 3a$ をとります。

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$0 < \sqrt{a} < 1$ です。

$0 \le x < \sqrt{a}$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数です。

$\sqrt{a} < x \le 1$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数です。

したがって、$x = \sqrt{a}$ で極大値（最大値）をとります。

最大値は $f(\sqrt{a}) = -(\sqrt{a})^3 + 3a\sqrt{a} = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} = 2a\sqrt{a}$ です。

最小値は $f(0) = 0$ と $f(1) = -1 + 3a$ のうち小さい方です。

ここで、$f(1) - f(0) = 3a - 1$ です。

$0 < a < \frac{1}{3}$ のとき、$3a - 1 < 0$ なので、最小値は $f(1) = 3a - 1$ です。

$\frac{1}{3} \le a < 1$ のとき、$3a - 1 \ge 0$ なので、最小値は $f(0) = 0$ です。

(iii) $a \ge 1$ のとき

$x = \sqrt{a} > 1$ となるため、$0 \le x \le 1$ の範囲では $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加関数です。したがって、$x=0$ で最小値 $f(0) = 0$ をとり、$x=1$ で最大値 $f(1) = -1 + 3a$ をとります。

以上をまとめると、

$a \le 0$ のとき、最大値は 0、最小値は $3a-1$

$0 < a < \frac{1}{3}$ のとき、最大値は $2a\sqrt{a}$、最小値は $3a-1$

$\frac{1}{3} \le a < 1$ のとき、最大値は $2a\sqrt{a}$、最小値は 0

$a \ge 1$ のとき、最大値は $3a-1$、最小値は 0

したがって、選択肢１が正解となります。

3. 最終的な答え

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