問題は3つあります。 (1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2)$, $(\beta, \beta^2)$ で交わっている。ただし $\alpha < \beta$ である。この放物線と直線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。 (2) 点 $(1,3)$ を通る傾き $m$ の直線と、放物線 $y=x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、$S$ を最小にする $m$ の値を求めよ。 (3) 放物線 $y = -x(x-6)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を直線 $y = mx$ が2等分するとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + a$ が2点 $(\alpha, \alpha^2)$, $(\beta, \beta^2)$ で交わっている。ただし $\alpha < \beta$ である。この放物線と直線で囲まれた図形の面積が $\frac{9}{2}$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

(2) 点 $(1,3)$ を通る傾き $m$ の直線と、放物線 $y=x^2$ で囲まれた図形の面積を $S$ とするとき、$S$ を最小にする $m$ の値を求めよ。

(3) 放物線 $y = -x(x-6)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積を直線 $y = mx$ が2等分するとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2つの交点における $x$ 座標 $\alpha$ と $\beta$ は、方程式 $x^2 = 2x + a$ の解である。したがって、$x^2 - 2x - a = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ である。

解と係数の関係から、$\alpha + \beta = 2$ かつ $\alpha \beta = -a$ が成り立つ。

また、囲まれた図形の面積は

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (2x + a - x^2) dx = \left[ x^2 + ax - \frac{1}{3}x^3 \right]_{\alpha}^{\beta} = (\beta^2 - \alpha^2) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3)$

$= (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + a(\beta - \alpha) - \frac{1}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha \beta + \alpha^2)$

$= (\beta - \alpha) (\beta + \alpha + a - \frac{1}{3} ((\beta + \alpha)^2 - \alpha \beta)) = (\beta - \alpha) (2 + a - \frac{1}{3}(4 + a))$

$= (\beta - \alpha)(\frac{2}{3}a + \frac{2}{3}) = \frac{2}{3}(\beta - \alpha)(a+1)$

$(\beta - \alpha)^2 = (\beta + \alpha)^2 - 4\alpha \beta = 4 - 4(-a) = 4 + 4a$ であるから、$\beta - \alpha = \sqrt{4 + 4a} = 2 \sqrt{1+a}$。

したがって、$S = \frac{2}{3} \cdot 2 \sqrt{1+a}(a+1) = \frac{4}{3} (a+1)^{3/2}$

問題文より $S = \frac{9}{2}$ なので、$\frac{4}{3}(a+1)^{3/2} = \frac{9}{2}$。

$(a+1)^{3/2} = \frac{27}{8}$。

$a+1 = (\frac{27}{8})^{2/3} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$。

$a = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。

(2)

点 $(1,3)$ を通る傾き $m$ の直線は $y - 3 = m(x-1)$ すなわち $y = mx - m + 3$。

$x^2 = mx - m + 3$ より $x^2 - mx + m - 3 = 0$。

この2次方程式の解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha + \beta = m, \alpha \beta = m-3$。

$S = \int_{\alpha}^{\beta} (mx - m + 3 - x^2)dx = \left[ \frac{m}{2}x^2 - (m-3)x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{\alpha}^{\beta}$

$= \frac{m}{2}(\beta^2 - \alpha^2) - (m-3)(\beta-\alpha) - \frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3)$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m}{2}(\beta+\alpha) - (m-3) - \frac{1}{3}(\beta^2 + \beta \alpha + \alpha^2)]$

$= (\beta - \alpha)[\frac{m^2}{2} - (m-3) - \frac{1}{3}((\alpha + \beta)^2 - \alpha \beta)] = (\beta - \alpha)[\frac{m^2}{2} - m + 3 - \frac{1}{3}(m^2 - m + 3)]$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha+\beta)^2 - 4\alpha \beta = m^2 - 4(m-3) = m^2 - 4m + 12 = (m-2)^2 + 8$ より $\beta - \alpha = \sqrt{(m-2)^2+8}$。

$S = \sqrt{(m-2)^2+8}[\frac{1}{2}m^2 - m + 3 - \frac{1}{3}m^2 + \frac{1}{3}m - 1] = \sqrt{(m-2)^2+8}[\frac{1}{6}m^2 - \frac{2}{3}m + 2]$

$S = \sqrt{(m-2)^2 + 8}[\frac{1}{6}(m^2 - 4m + 12)] = \frac{1}{6}\sqrt{(m-2)^2+8}[(m-2)^2 + 8+4] = \frac{1}{6} \sqrt{(m-2)^2+8} [(m-2)^2+8+4]$

この時、$S$は、$m=2$の時、最小になり、$S= \frac{1}{6} \sqrt{8} \cdot 12 = 4\sqrt{2}$となる。

(3)

放物線 $y = -x(x-6) = -x^2 + 6x$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積は

$S = \int_0^6 (-x^2 + 6x) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 3x^2\right]_0^6 = -\frac{1}{3}(6^3) + 3(6^2) = -72 + 108 = 36$.

直線 $y = mx$ がこの面積を2等分するので、上側の面積も下側の面積も $18$ になる。

$-x^2 + 6x = mx$ より、$x^2 + (m-6)x = 0$。

$x(x-6+m) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 6-m$。

$\int_0^{6-m} (-x^2 + 6x - mx) dx = \int_0^{6-m} (-x^2 + (6-m)x)dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{6-m}{2}x^2 \right]_0^{6-m} = -\frac{1}{3}(6-m)^3 + \frac{6-m}{2}(6-m)^2 = \frac{1}{6}(6-m)^3 = 18$。

$(6-m)^3 = 108$。

$6-m = \sqrt[3]{108} = 3 \sqrt[3]{4}$.

$m = 6 - 3 \sqrt[3]{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{5}{4}$

(2) $m = 2$

(3) $m = 6 - 3 \sqrt[3]{4}$