与えられた定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx$ (2) $\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx$

(2) $\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx$

2. 解き方の手順

(1)

$u = x+3$ と置換すると、$du = dx$。

$x=-1$ のとき $u = -1 + 3 = 2$。

$x=0$ のとき $u = 0 + 3 = 3$。

したがって、

$\int_{-1}^{0} (x+3)^4 dx = \int_{2}^{3} u^4 du = \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{2}^{3} = \frac{3^5}{5} - \frac{2^5}{5} = \frac{243}{5} - \frac{32}{5} = \frac{211}{5}$

(2)

$v = 2x-1$ と置換すると、$dv = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}dv$。

$x=-1$ のとき $v = 2(-1) - 1 = -3$。

$x=1$ のとき $v = 2(1) - 1 = 1$。

したがって、

$\int_{-1}^{1} (2x-1)^3 dx = \int_{-3}^{1} v^3 \frac{1}{2} dv = \frac{1}{2} \left[ \frac{v^4}{4} \right]_{-3}^{1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{81}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{80}{4} \right) = \frac{1}{2} (-20) = -10$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{211}{5}$

(2) $-10$