(1) 2つの曲線 $y = x^3$ と $y = x^2 + ax + b$ が点 $(-1, -1)$ で接するように、定数 $a, b$ の値を求めよ。 (2) 2つの放物線 $y = x^2 - 2x$ と $y = -2x^2 + 4x - 9$ のどちらにも接する接線の方程式を求めよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 2つの曲線 $y = x^3$ と $y = x^2 + ax + b$ が点 $(-1, -1)$ で接するように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

(2) 2つの放物線 $y = x^2 - 2x$ と $y = -2x^2 + 4x - 9$ のどちらにも接する接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2つの曲線が点 $(-1, -1)$ で接するためには、次の2つの条件を満たす必要があります。

(i) 点 $(-1, -1)$ が両方の曲線上に存在すること。

(ii) 点 $(-1, -1)$ における接線の傾きが一致すること。

まず、点 $(-1, -1)$ が曲線 $y = x^3$ 上にあることは明らかです。

次に、点 $(-1, -1)$ が曲線 $y = x^2 + ax + b$ 上にあることから、

$$-1 = (-1)^2 + a(-1) + b$$

$$-1 = 1 - a + b$$

$$a - b = 2 \tag{1}$$

次に、各曲線の導関数を求めます。

$y = x^3$ の導関数は $y' = 3x^2$ です。

$y = x^2 + ax + b$ の導関数は $y' = 2x + a$ です。

点 $(-1, -1)$ における接線の傾きが一致するため、

$$3(-1)^2 = 2(-1) + a$$

$$3 = -2 + a$$

$$a = 5 \tag{2}$$

式(1)と(2)より、

$$5 - b = 2$$

$$b = 3$$

(2)

放物線 $y = x^2 - 2x$ 上の点 $(t, t^2 - 2t)$ における接線の方程式は、

$y' = 2x - 2$ より、接線の傾きは $2t - 2$ であるから、

$$y - (t^2 - 2t) = (2t - 2)(x - t)$$

$$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t$$

$$y = (2t - 2)x - t^2 \tag{3}$$

この接線が、放物線 $y = -2x^2 + 4x - 9$ にも接するとする。接点を $(s, -2s^2 + 4s - 9)$ とすると、$y' = -4x + 4$ より、接線の傾きは $-4s + 4$ であるから、

$$y - (-2s^2 + 4s - 9) = (-4s + 4)(x - s)$$

$$y = (-4s + 4)x + 4s^2 - 4s - 2s^2 + 4s - 9$$

$$y = (-4s + 4)x + 2s^2 - 9 \tag{4}$$

式(3)と(4)が同じ直線を表すので、

$$2t - 2 = -4s + 4 \tag{5}$$

$$-t^2 = 2s^2 - 9 \tag{6}$$

式(5)より $t = -2s + 3$ であるから、これを式(6)に代入すると、

$$-(-2s + 3)^2 = 2s^2 - 9$$

$$-(4s^2 - 12s + 9) = 2s^2 - 9$$

$$-4s^2 + 12s - 9 = 2s^2 - 9$$

$$6s^2 - 12s = 0$$

$$6s(s - 2) = 0$$

よって、$s = 0, 2$

$s = 0$ のとき、$t = 3$ であり、式(3)より $y = 4x - 9$

$s = 2$ のとき、$t = -1$ であり、式(3)より $y = -4x - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 5$, $b = 3$

(2) $y = 4x - 9$, $y = -4x - 1$