$xy$ 平面上に楕円 $C: \frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ がある。 $y$ 軸上の点 $P(0, t)$ ($t>1$) を通り、$C$ と第1象限で接する接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の接点を $R$ とし、$\ell$ と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。 (1) $\ell$ の方程式を求めよ。また、点 $R$ および $Q$ の座標を求めよ。 (2) 点 $P$ が $t>1$ の範囲で動くとき、線分 $PQ$ の長さの最小値、およびそのときの $t$ の値を求めよ。 (3) (2) において線分 $PQ$ の長さが最小になるとき、$x$ 軸と線分 $RQ$ と楕円 $C$ で囲まれた領域の面積を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$xy$ 平面上に楕円 $C: \frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ がある。 $y$ 軸上の点 $P(0, t)$ ($t>1$) を通り、$C$ と第1象限で接する接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の接点を $R$ とし、$\ell$ と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。

(1) $\ell$ の方程式を求めよ。また、点 $R$ および $Q$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P$ が $t>1$ の範囲で動くとき、線分 $PQ$ の長さの最小値、およびそのときの $t$ の値を求めよ。

(3) (2) において線分 $PQ$ の長さが最小になるとき、$x$ 軸と線分 $RQ$ と楕円 $C$ で囲まれた領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

楕円 $C$ 上の点 $R(x_0, y_0)$ における接線の方程式は

$\frac{x_0 x}{9} + y_0 y = 1$

これが点 $P(0, t)$ を通るので、

$y_0 t = 1$

$y_0 = \frac{1}{t}$

点 $R(x_0, y_0)$ は楕円 $C$ 上の点でもあるので、

$\frac{x_0^2}{9} + y_0^2 = 1$

$\frac{x_0^2}{9} + \frac{1}{t^2} = 1$

$\frac{x_0^2}{9} = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2}$

$x_0^2 = 9 \cdot \frac{t^2 - 1}{t^2}$

$x_0 = 3 \cdot \frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}$

よって、接点 $R$ の座標は $R(3 \cdot \frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}, \frac{1}{t})$

接線 $\ell$ の方程式は

$\frac{3 \cdot \frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t} x}{9} + \frac{1}{t} y = 1$

$\frac{\sqrt{t^2 - 1}}{3t} x + \frac{1}{t} y = 1$

$\sqrt{t^2 - 1} x + 3y = 3t$

$\ell$ と $x$ 軸の交点 $Q$ は、$y=0$ より

$\sqrt{t^2 - 1} x = 3t$

$x = \frac{3t}{\sqrt{t^2 - 1}}$

よって、$Q(\frac{3t}{\sqrt{t^2 - 1}}, 0)$

(2)

$PQ = t - 0 = t$

$PQ = \sqrt{(\frac{3t}{\sqrt{t^2 - 1}} - 0)^2 + (0 - t)^2} = \sqrt{\frac{9t^2}{t^2 - 1} + t^2} = \sqrt{\frac{9t^2 + t^4 - t^2}{t^2 - 1}} = \sqrt{\frac{t^4 + 8t^2}{t^2 - 1}} = t\sqrt{\frac{t^2 + 8}{t^2 - 1}}$

$f(t) = \frac{t^2 + 8}{t^2 - 1}$ とすると

$f'(t) = \frac{2t(t^2 - 1) - (t^2 + 8)(2t)}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t^3 - 2t - 2t^3 - 16t}{(t^2 - 1)^2} = \frac{-18t}{(t^2 - 1)^2}$

$t > 1$ より、$f'(t) < 0$ となるので、$f(t)$ は単調減少である。

$PQ = t\sqrt{\frac{t^2 + 8}{t^2 - 1}}$

$g(t) = t^2 \cdot \frac{t^2 + 8}{t^2 - 1} = \frac{t^4 + 8t^2}{t^2 - 1}$

$g'(t) = \frac{(4t^3 + 16t)(t^2 - 1) - (t^4 + 8t^2)(2t)}{(t^2 - 1)^2} = \frac{4t^5 + 16t^3 - 4t^3 - 16t - 2t^5 - 16t^3}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t^5 - 4t^3 - 16t}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t(t^4 - 2t^2 - 8)}{(t^2 - 1)^2} = \frac{2t(t^2 - 4)(t^2 + 2)}{(t^2 - 1)^2}$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t^2 = 4$ つまり、$t=2$ のとき。

$t > 1$ より $t=2$ のとき $PQ$ は最小値を取る。

$t=2$ のとき、$PQ = 2 \sqrt{\frac{4+8}{4-1}} = 2 \sqrt{\frac{12}{3}} = 2 \sqrt{4} = 4$

(3)

$t=2$ のとき、$R(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$、$Q(6, 0)$

$RQ$ の方程式は、$y = \frac{\frac{1}{2} - 0}{\frac{3\sqrt{3}}{2} - 6}(x - 6) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3\sqrt{3} - 12}{2}}(x - 6) = \frac{1}{3\sqrt{3} - 12}(x - 6) = \frac{3\sqrt{3} + 12}{27 - 144}(x - 6) = \frac{3\sqrt{3} + 12}{-117}(x-6) = -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} (x-6)$

求める面積 $S$ は

$S = \int_0^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} dx - \int_{\frac{3\sqrt{3}}{2}}^6 -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} (x-6) dx$

$\int_0^{\frac{3\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - \frac{x^2}{9}} dx = \frac{1}{2} ab (\theta + \sin\theta) = \frac{1}{2} (3)(1) (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$\int_{\frac{3\sqrt{3}}{2}}^6 -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} (x-6) dx = -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} [\frac{x^2}{2} - 6x]_{\frac{3\sqrt{3}}{2}}^6 = -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} [(18-36) - (\frac{27}{8} - 9\sqrt{3})] = -\frac{\sqrt{3} + 4}{39} [-18 - \frac{27}{8} + 9\sqrt{3}] = \frac{\sqrt{3} + 4}{39} [\frac{171}{8} - 9\sqrt{3}] = \frac{(\sqrt{3} + 4)(171 - 72\sqrt{3})}{39 \times 8} = \frac{171\sqrt{3} - 216 + 684 - 288\sqrt{3}}{312} = \frac{468 - 117\sqrt{3}}{312} = \frac{4 - \sqrt{3}}{8} \times \frac{3}{3}$

$S = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4} - (\frac{468 - 117\sqrt{3}}{312}) = \frac{\pi}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{156 - 39\sqrt{3}}{104} = \frac{\pi}{2} + \frac{78+39*2}{104}$

3. 最終的な答え

(1) $\ell: \sqrt{t^2 - 1} x + 3y = 3t$, $R(3 \frac{\sqrt{t^2 - 1}}{t}, \frac{1}{t})$, $Q(\frac{3t}{\sqrt{t^2 - 1}}, 0)$

(2) 最小値: $4$, $t=2$

(3) $\frac{3\pi}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4}$