関数 $y = e^{-x^2}$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-x^2}$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x^2}$ を微分する。

$y' = -2xe^{-x^2}$

さらに、$y'$ を微分して $y''$ を求める。

$y'' = -2e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4x^2-2)e^{-x^2}$

変曲点を求めるために、$y'' = 0$ となる $x$ を探す。

$(4x^2-2)e^{-x^2} = 0$

$e^{-x^2}$ は常に正なので、$4x^2-2 = 0$ を解けばよい。

$4x^2 = 2$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

次に、$y''$ の符号を調べる。

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2-2 > 0$ なので、$y'' > 0$ (下に凸)。

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2-2 < 0$ なので、$y'' < 0$ (上に凸)。

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$4x^2-2 > 0$ なので、$y'' > 0$ (下に凸)。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$y = e^{-(\pm \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$

3. 最終的な答え

凹凸：

$x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ で下に凸

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ で上に凸

$x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ で下に凸

変曲点：

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$