直線 $y=x$ と放物線 $C: y=x^2-x$ で囲まれる領域の面積を $S$ とする。直線 $y=ax$ (ただし $a > -1$) と $C$ で囲まれる領域の面積が $\frac{S}{2}$ となるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=x$ と放物線 $C: y=x^2-x$ で囲まれる領域の面積を $S$ とする。直線 $y=ax$ (ただし $a > -1$) と $C$ で囲まれる領域の面積が $\frac{S}{2}$ となるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を求める。直線 $y=x$ と放物線 $y=x^2-x$ の交点の $x$ 座標は、

$x=x^2-x$

$x^2-2x=0$

$x(x-2)=0$

$x=0, 2$

よって、$S$ は

$S = \int_0^2 (x-(x^2-x)) dx = \int_0^2 (2x-x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = 4-\frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

次に、直線 $y=ax$ と放物線 $y=x^2-x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$ax=x^2-x$

$x^2-(a+1)x=0$

$x(x-(a+1))=0$

$x=0, a+1$

$a>-1$ より、$a+1>0$ である。

直線 $y=ax$ と放物線 $y=x^2-x$ で囲まれる領域の面積は

$\int_0^{a+1} (ax-(x^2-x)) dx = \int_0^{a+1} ((a+1)x-x^2) dx = [\frac{a+1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^{a+1} = \frac{(a+1)^3}{2} - \frac{(a+1)^3}{3} = \frac{(a+1)^3}{6}$

これが $\frac{S}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ に等しいから

$\frac{(a+1)^3}{6} = \frac{2}{3}$

$(a+1)^3 = 4$

$a+1 = \sqrt[3]{4}$

$a = \sqrt[3]{4} - 1$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt[3]{4} - 1$