直線 $y=x$ と放物線 $C: y=x^2-x$ で囲まれる領域の面積を $S$ とする。直線 $y=ax$ （ただし $a > -1$）と $C$ で囲まれる領域の面積が $\frac{S}{2}$ となるとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y=x$ と放物線 $C: y=x^2-x$ で囲まれる領域の面積を $S$ とする。直線 $y=ax$ （ただし $a > -1$）と $C$ で囲まれる領域の面積が $\frac{S}{2}$ となるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線 $y=x$ と放物線 $y=x^2-x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x = x^2 - x$ を解くと、$x^2 - 2x = 0$ より $x(x-2) = 0$ となる。

したがって、$x=0, 2$ である。

ステップ2: 面積 $S$ を計算する。

$S = \int_0^2 (x - (x^2 - x)) dx = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ3: 直線 $y=ax$ と放物線 $y=x^2-x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$ax = x^2 - x$ を解くと、$x^2 - (a+1)x = 0$ より $x(x-(a+1)) = 0$ となる。

したがって、$x=0, a+1$ である。

ステップ4: 直線 $y=ax$ と放物線 $y=x^2-x$ で囲まれる面積を計算する。

$a > -1$ より $a+1 > 0$ であるから積分範囲は $0 \le x \le a+1$ となる。

面積は

$\int_0^{a+1} (ax - (x^2 - x)) dx = \int_0^{a+1} ((a+1)x - x^2) dx = [\frac{1}{2}(a+1)x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^{a+1} = \frac{1}{2}(a+1)^3 - \frac{1}{3}(a+1)^3 = \frac{1}{6}(a+1)^3$

ステップ5: $\frac{1}{6}(a+1)^3 = \frac{S}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ を解く。

$(a+1)^3 = 4$ より $a+1 = \sqrt[3]{4}$

したがって、$a = \sqrt[3]{4} - 1$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt[3]{4} - 1$