関数 $y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $x$ で2回微分し、2階導関数の符号を調べることで凹凸を判定し、変曲点を求める。

まず、与えられた関数を $y$ とする。

$y = \frac{3}{2}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$

$y$ を $x$ で1回微分する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(e^{\frac{x}{3}} - e^{-\frac{x}{3}})$

$\frac{dy}{dx}$ をさらに $x$ で微分して、2階導関数を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}} + \frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{6}(e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}})$

$e^{\frac{x}{3}} > 0$ かつ $e^{-\frac{x}{3}} > 0$ であるから、$e^{\frac{x}{3}} + e^{-\frac{x}{3}} > 0$ が常に成り立つ。

よって、$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ が常に成り立つ。

したがって、関数 $y$ は常に下に凸である。

2階導関数が常に正なので、変曲点は存在しない。

3. 最終的な答え

関数は常に下に凸であり、変曲点は存在しない。