与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to +0} (-\log x)^x$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to +0} (-\log x)^x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $y$ とおきます。

$y = (-\log x)^x$

両辺の自然対数を取ります。

$\log y = x \log(-\log x)$

$x \to +0$ のとき、$\log x \to -\infty$ なので、$-\log x \to +\infty$ となります。

$\log(-\log x)$ は、$x \to +0$ のとき $+\infty$ に発散します。

ここで、$\lim_{x \to +0} x \log(-\log x)$ を計算する必要があります。

これは $0 \times \infty$ の不定形なので、変形してロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} x \log(-\log x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log(-\log x)}{1/x}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log(-\log x)}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{-\log x} \cdot \frac{-1}{x}}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{1/x \log x}{1/x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{x}{\log x}$

ここで再度 $x \to +0$ を考えると、これは $\frac{0}{-\infty}$ の形なので、極限は0になります。

$\lim_{x \to +0} \frac{x}{\log x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ となります。

よって、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +0} (-\log x)^x = 1$