(1) 曲線 $y = x^3$ と直線 $y = 3x - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 点 $(1, 2)$ を通り、直線 $x + 3y + 5 = 0$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。さらに、曲線 $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ と直線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = x^3$ と直線 $y = 3x - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 点 $(1, 2)$ を通り、直線 $x + 3y + 5 = 0$ に垂直な直線 $l$ の方程式を求める。さらに、曲線 $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ と直線 $l$ で囲まれた2つの部分の面積の和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、曲線 $y = x^3$ と直線 $y = 3x - 2$ の交点を求める。

$x^3 = 3x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)^2 (x + 2) = 0$

よって、$x = 1, -2$

交点の座標は、$(1, 1), (-2, -8)$ である。

面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^{1} |x^3 - (3x - 2)| dx = \int_{-2}^{1} |x^3 - 3x + 2| dx = \int_{-2}^{1} |(x - 1)^2(x + 2)| dx$

$-2 \le x \le 1$ の範囲では $(x - 1)^2 \ge 0$ であり、 $x+2 \ge 0$ なので $(x-1)^2(x+2) \ge 0$.

したがって、

$S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x]_{-2}^{1}$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2) - (\frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) + 2(-2))$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4}) - (4 - 6 - 4)$

$S = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

(2)

直線 $x + 3y + 5 = 0$ の傾きは $-\frac{1}{3}$ なので、これに垂直な直線の傾きは $3$ である。

点 $(1, 2)$ を通る傾き $3$ の直線の方程式は、

$y - 2 = 3(x - 1)$

$y = 3x - 3 + 2$

$y = 3x - 1$

したがって、直線 $l$ の方程式は $y = 3x - 1$ である。

次に、曲線 $y = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ と直線 $y = 3x - 1$ の交点を求める。

$x^3 - 4x^2 + 2x + 3 = 3x - 1$

$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$

$x^2(x - 4) - (x - 4) = 0$

$(x^2 - 1)(x - 4) = 0$

$(x - 1)(x + 1)(x - 4) = 0$

よって、$x = 1, -1, 4$

交点の $x$ 座標は、$x = -1, 1, 4$

面積の和を $S$ とすると、

$S = \int_{-1}^{1} |(x^3 - 4x^2 + 2x + 3) - (3x - 1)| dx + \int_{1}^{4} |(x^3 - 4x^2 + 2x + 3) - (3x - 1)| dx$

$S = \int_{-1}^{1} |x^3 - 4x^2 - x + 4| dx + \int_{1}^{4} |x^3 - 4x^2 - x + 4| dx$

$S = \int_{-1}^{1} |(x^2 - 1)(x - 4)| dx + \int_{1}^{4} |(x^2 - 1)(x - 4)| dx$

$-1 \le x \le 1$ のとき、$x^2 - 1 \le 0$ かつ $x - 4 < 0$ なので、 $(x^2 - 1)(x - 4) \ge 0$

$1 \le x \le 4$ のとき、$x^2 - 1 \ge 0$ かつ $x - 4 \le 0$ なので、 $(x^2 - 1)(x - 4) \le 0$

$S = \int_{-1}^{1} (x^3 - 4x^2 - x + 4) dx + \int_{1}^{4} -(x^3 - 4x^2 - x + 4) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_{-1}^{1} + [-(\frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x)]_{1}^{4}$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4) - (\frac{1}{4} + \frac{4}{3} - \frac{1}{2} - 4) + [-(\frac{1}{4}(256) - \frac{4}{3}(64) - \frac{1}{2}(16) + 4(4))] - [-(\frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4)]$

$S = (\frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4 - \frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} + 4) + [-(64 - \frac{256}{3} - 8 + 16) + \frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4]$

$S = 8 - \frac{8}{3} - (72 - \frac{256}{3}) + \frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4$

$S = 8 - \frac{8}{3} - 72 + \frac{256}{3} + \frac{1}{4} - \frac{4}{3} - \frac{1}{2} + 4 = -60 + \frac{244}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 4$

$S = -56 + \frac{244}{3} - \frac{1}{4} = \frac{-672 + 976 - 3}{12} = \frac{301}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{4}$

(2) ア： $3x-1$, イ： $\frac{301}{12}$