関数 $f(x)$ が、$f(x) = x^2 + x \int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が、$f(x) = x^2 + x \int_{0}^{1} f(t) dt$ を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{0}^{1} f(t) dt$ は定数なので、これを $k$ とおきます。

$k = \int_{0}^{1} f(t) dt$

すると、$f(x) = x^2 + kx$ となります。

この式を$k$ の式に代入すると、

$k = \int_{0}^{1} (t^2 + kt) dt$

$k = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}kt^2 \right]_{0}^{1}$

$k = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}k$

$\frac{1}{2}k = \frac{1}{3}$

$k = \frac{2}{3}$

したがって、$f(x) = x^2 + \frac{2}{3}x$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + \frac{2}{3}x$