関数 $y = x^{\frac{1}{x}} (x>0)$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}} (x>0)$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

極値を求めるためには、まず関数を微分し、導関数が0になる点を求めます。

1. 対数微分法を用いるために、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x} \ln x)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2} \ln x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x)$

4. $\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \ln x) = 0$

$x > 0$ なので、$x^{\frac{1}{x}} > 0$ および $\frac{1}{x^2} > 0$。したがって、$1 - \ln x = 0$ となる $x$ を求めればよい。

$\ln x = 1$

$x = e$

5. $x = e$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号を調べます。

* $x < e$ のとき、$\ln x < 1$ より $1 - \ln x > 0$ なので、$\frac{dy}{dx} > 0$。

* $x > e$ のとき、$\ln x > 1$ より $1 - \ln x < 0$ なので、$\frac{dy}{dx} < 0$。

したがって、$x = e$ で極大値をとります。

6. 極大値を求めます。

$y(e) = e^{\frac{1}{e}}$

3. 最終的な答え

$x = e$ のとき、極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ をとる。