与えられた関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

1. 与えられた関数を微分する。

$y = x^{1/3} + x$ であるから、

$y' = \frac{1}{3} x^{-2/3} + 1$

2. もう一度微分する。

$y'' = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) x^{-5/3} = -\frac{2}{9} x^{-5/3}$

$y'' = -\frac{2}{9x^{5/3}}$

3. $y''=0$ となる $x$ を求める。しかし、この関数は $y''=0$ となる $x$ を持たない。

ただし、 $x=0$ において $y''$ は定義されないため、 $x=0$ は変曲点の候補となる。

4. $x=0$ の前後で $y''$ の符号を調べる。

$x < 0$ のとき、$x^{5/3} < 0$ なので $y'' = -\frac{2}{9x^{5/3}} > 0$ (下に凸)

$x > 0$ のとき、$x^{5/3} > 0$ なので $y'' = -\frac{2}{9x^{5/3}} < 0$ (上に凸)

5. $x=0$ の前後で $y''$ の符号が変化するので、$x=0$ は変曲点である。

$x=0$ のとき、$y = \sqrt[3]{0} + 0 = 0$ であるから、変曲点は $(0, 0)$ である。

6. 凹凸についてまとめる。

$x < 0$ で下に凸

$x > 0$ で上に凸

3. 最終的な答え

凹凸：

$x < 0$ で下に凸

$x > 0$ で上に凸

変曲点：

$(0, 0)$