$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限は不定形（$\frac{0}{0}$）なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\tan x$ の微分は $\frac{1}{\cos^2 x}$ であり、$\sin x$ の微分は $\cos x$ であることを利用します。

まず、1回ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx}(\tan x - x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$

$\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos^2 x} - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x (1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{\cos^2 x (1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\cos^2 x}$

ここで$x\to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\cos^2 x} = \frac{1 + 1}{1^2} = 2$

または、テイラー展開を用いて解くこともできます。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

したがって、

$\tan x - x = \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

$x - \sin x = \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{3} + O(x^5)}{\frac{x^3}{6} + O(x^5)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} + O(x^2)}{\frac{1}{6} + O(x^2)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3} \times 6 = 2$

3. 最終的な答え

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