$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\sin^{-1} x$ は $\sin x$ の逆関数であるからといって、すべての $x$ に対して $\sin^{-1}(\sin x) = x$ と単純に考えてはいけないことが注意されています。$\sin x$ の逆関数は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義されていることがヒントとして与えられています。

1. 問題の内容

$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\sin^{-1} x$ は $\sin x$ の逆関数であるからといって、すべての $x$ に対して $\sin^{-1}(\sin x) = x$ と単純に考えてはいけないことが注意されています。$\sin x$ の逆関数は $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で定義されていることがヒントとして与えられています。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数を求めるためには、まず $\sin^{-1}(\sin x)$ がどのような関数になるかを考える必要があります。

$\sin^{-1}(\sin x)$ は、$-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ の範囲では $x$ に等しくなります。

しかし、それ以外の範囲では異なります。例えば、$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ の範囲では、$\sin x = \sin(\pi - x)$ となり、$\pi - x$ は $-\frac{\pi}{2} \le \pi - x \le \frac{\pi}{2}$ を満たすため、$\sin^{-1}(\sin x) = \pi - x$ となります。

一般に、$\sin^{-1}(\sin x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数であり、そのグラフは折れ線グラフになります。

$\sin^{-1}(\sin x)$ の導関数は、この折れ線グラフの傾きを求めればよいです。

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$\sin^{-1}(\sin x) = x$ であるから、導関数は1です。

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ の範囲では、$\sin^{-1}(\sin x) = \pi - x$ であるから、導関数は-1です。

これらのことを繰り返すことで、任意の $x$ に対する導関数を求めることができます。

まとめると、

$ \frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) =

\begin{cases}

1 & (2n\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}) \\

-1 & (2n\pi + \frac{\pi}{2} < x < 2n\pi + \frac{3\pi}{2})

\end{cases} $

ここで、$n$ は任意の整数です。

また、$x=n\pi+\frac{\pi}{2}$の点においては微分不可能であることに注意する。

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \sin^{-1}(\sin x) =

\begin{cases}

1 & (2n\pi - \frac{\pi}{2} < x < 2n\pi + \frac{\pi}{2}) \\

-1 & (2n\pi + \frac{\pi}{2} < x < 2n\pi + \frac{3\pi}{2})

\end{cases} $

（$n$ は任意の整数）

また、$x=n\pi+\frac{\pi}{2}$の点においては微分不可能