正の定数 $c$ があり、$f(x) = x^3 + 3x^2$、$g(x) = x^3 + 3x^2 + c$ とする。直線 $l$ は点 $P(p, f(p))$ で曲線 $y = f(x)$ と接し、点 $Q(q, g(q))$ で曲線 $y = g(x)$ と接する。このとき、$c$ を $p$ で表す。

1. 問題の内容

正の定数 $c$ があり、$f(x) = x^3 + 3x^2$、$g(x) = x^3 + 3x^2 + c$ とする。直線 $l$ は点 $P(p, f(p))$ で曲線 $y = f(x)$ と接し、点 $Q(q, g(q))$ で曲線 $y = g(x)$ と接する。このとき、$c$ を $p$ で表す。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の $x=p$ における接線を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6x$ より、接線の傾きは $f'(p) = 3p^2 + 6p$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - f(p) = f'(p)(x - p)$

$y - (p^3 + 3p^2) = (3p^2 + 6p)(x - p)$

$y = (3p^2 + 6p)x - 3p^3 - 6p^2 + p^3 + 3p^2$

$y = (3p^2 + 6p)x - 2p^3 - 3p^2$

(2) $g(x)$ の $x=q$ における接線を求める。

$g'(x) = 3x^2 + 6x$ より、接線の傾きは $g'(q) = 3q^2 + 6q$ である。

したがって、接線の方程式は

$y - g(q) = g'(q)(x - q)$

$y - (q^3 + 3q^2 + c) = (3q^2 + 6q)(x - q)$

$y = (3q^2 + 6q)x - 3q^3 - 6q^2 + q^3 + 3q^2 + c$

$y = (3q^2 + 6q)x - 2q^3 - 3q^2 + c$

(3) 2つの接線が一致するので、傾きと切片がそれぞれ等しい。

$3p^2 + 6p = 3q^2 + 6q$

$-2p^3 - 3p^2 = -2q^3 - 3q^2 + c$

$3p^2 + 6p = 3q^2 + 6q$ より

$p^2 + 2p = q^2 + 2q$

$p^2 - q^2 + 2p - 2q = 0$

$(p - q)(p + q) + 2(p - q) = 0$

$(p - q)(p + q + 2) = 0$

$p \neq q$ より、$p + q + 2 = 0$ であるから、$q = -p - 2$

$-2p^3 - 3p^2 = -2q^3 - 3q^2 + c$ より

$c = -2p^3 - 3p^2 + 2q^3 + 3q^2$

$c = -2p^3 - 3p^2 + 2(-p - 2)^3 + 3(-p - 2)^2$

$c = -2p^3 - 3p^2 + 2(-p^3 - 6p^2 - 12p - 8) + 3(p^2 + 4p + 4)$

$c = -2p^3 - 3p^2 - 2p^3 - 12p^2 - 24p - 16 + 3p^2 + 12p + 12$

$c = -4p^3 - 12p^2 - 12p - 4$

$c = -4(p^3 + 3p^2 + 3p + 1)$

$c = -4(p + 1)^3$

$c$ は正の定数であるという条件より、$-4(p+1)^3 > 0$ となる必要があり、$(p+1)^3 < 0$ 、つまり $p+1 < 0$ となるので $p < -1$

3. 最終的な答え

$c = -4(p+1)^3$ ($p < -1$)