不定積分 $\int \log(x+1) \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \log(x+1) \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を用いて解きます。

部分積分の公式は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log(x+1)$ と $dv = dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x+1} \, dx$ であり、$v = x$ となります。

したがって、

$\int \log(x+1) \, dx = x \log(x+1) - \int x \cdot \frac{1}{x+1} \, dx$

$= x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} \, dx$

ここで、$\frac{x}{x+1}$ を変形します。

$\frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$

したがって、

$\int \frac{x}{x+1} \, dx = \int \left(1 - \frac{1}{x+1}\right) \, dx = x - \log|x+1| + C_1$ (C_1は積分定数)

よって、

$\int \log(x+1) \, dx = x \log(x+1) - (x - \log|x+1|) + C$

$= x \log(x+1) - x + \log|x+1| + C$

$= (x+1)\log(x+1) - x + C$ (Cは積分定数)

3. 最終的な答え

$(x+1)\log(x+1) - x + C$