(1) $\int_{-1}^{x} f(t) dt = x^2 - 2x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。 (2) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 - 3x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。 (3) $f(x) = x^2 + 2x + \int_{0}^{3} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 (4) $f(x) = -2 + \int_{0}^{3} xf(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\int_{-1}^{x} f(t) dt = x^2 - 2x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。

(2) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^2 - 3x + a$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ を求めよ。

(3) $f(x) = x^2 + 2x + \int_{0}^{3} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

(4) $f(x) = -2 + \int_{0}^{3} xf(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \int_{-1}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x + a)$

$f(x) = 2x - 2$

次に、$x=-1$ を代入する。

$\int_{-1}^{-1} f(t) dt = (-1)^2 - 2(-1) + a$

$0 = 1 + 2 + a$

$a = -3$

(2)

まず、$x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (x^2 - 3x + a)$

$f(x) = 2x - 3$

次に、$x=a$ を代入する。

$\int_{a}^{a} f(t) dt = a^2 - 3a + a$

$0 = a^2 - 2a$

$0 = a(a - 2)$

$a = 0, 2$

(3)

$\int_{0}^{3} f(t) dt = A$ とおく。

$f(x) = x^2 + 2x + A$

$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (t^2 + 2t + A) dt = [\frac{1}{3}t^3 + t^2 + At]_{0}^{3} = \frac{1}{3}(3^3) + 3^2 + 3A = 9 + 9 + 3A = 18 + 3A$

したがって、$A = 18 + 3A$

$-2A = 18$

$A = -9$

$f(x) = x^2 + 2x - 9$

(4)

$\int_{0}^{3} f(t) dt = B$ とおく。

$f(x) = -2 + x\int_{0}^{3} f(t) dt = -2 + xB$

$\int_{0}^{3} f(t) dt = \int_{0}^{3} (-2 + tB) dt = [-2t + \frac{1}{2}t^2B]_{0}^{3} = -2(3) + \frac{1}{2}(3^2)B = -6 + \frac{9}{2}B$

したがって、$B = -6 + \frac{9}{2}B$

$-\frac{7}{2}B = -6$

$B = \frac{12}{7}$

$f(x) = -2 + \frac{12}{7}x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 2x - 2$, $a = -3$

(2) $f(x) = 2x - 3$, $a = 0, 2$

(3) $f(x) = x^2 + 2x - 9$

(4) $f(x) = -2 + \frac{12}{7}x$